Šķidrumiem ar lielu-Prandtl-skaitli (Pr=500, raksturīgi augstas-viskozitātes eļļām, glicerīnam vai polimēru kausējumiem) ir ļoti zema termiskā difūzija salīdzinājumā ar impulsa difūziju. Siltuma pārnese iesildīšanās laikā dominē vadītspēja, nevis konvekcija. Laiku, kurā PFA sildītājam šāds šķidrums sasniedz 90% no iestatītās vērtības, nosaka termiskās difūzijas laika konstante, nevis sildītāja vatu blīvums. Tvertnei ar raksturīgo garumu L (piem., 0,5 m) termiskās difūzijas laiks ir τ_diff=L² / , kur ir termiskā difūzija (m²/s). Attiecībā uz Pr=500, pieņemot termisko difūziju=ν/Pr, ar ν tipisku eļļai (50 cSt=5e-5 m²/s),=5e-5/500=1e-7 m²/s. L=0.5 m, τ_diff=(0,5)² / 1e-7=0.25 / 1e-7=2.5e6 sekundes=694 stundas. Tas ir 29 dienas — tas acīmredzami nav praktiski. Aprēķins atklāj galveno ieskatu: ļoti augsta PR šķidrumiem vienmērīgai karsēšanai nepieciešama piespiedu konvekcija vai ļoti ilgs uzsūkšanās laiks. Inženieriem ir jāizmanto recirkulācijas sūkņi vai vairāki sildītāji, lai samazinātu efektīvo termiskās difūzijas garumu.
Iesildīšanās-laika aprēķināšanas metode
The 90% setpoint time for a batch of fluid heated by an immersed PFA heater is the sum of two components: (1) the time to heat the boundary layer near the heater, and (2) the time for heat to diffuse through the bulk fluid. For low-Pr fluids (water, Pr≈7), bulk mixing (natural convection) dominates, and the time is governed by the heater power. For high-Pr fluids (Pr>100), dabiskā konvekcija ir vāja vai tās nav, un siltuma pārnese ir -ierobežota.
Furjē skaitlis Fo=× t / L² nosaka temperatūras iespiešanās dziļumu. Šķidrumam, kas sākotnēji ir T0 ar sildītāju pie Twall, temperatūra attālumā x sasniedz 90% no (Twall – T0), kad Fo ≈ 0,5 (pus{6}}bezgalīgai plāksnei) vai Fo ≈ 0,2 (sfērai). 0,5 m tvertnei =1e-7 m²/s, L=0.5 m, Fo=0.2 → t=Fo × L² /=0.2 × 0,25 / 1e-7=500,000 sekundes=5.8 dienas. Tas joprojām ir ļoti garš.
Praktiska pieeja:
Aprēķiniet šķidruma termisko difūziju:=k / (ρ × c_p), kur k ir siltumvadītspēja (W/m·K), ρ ir blīvums, c_p ir īpatnējais siltums.
Novērtējiet raksturīgo difūzijas garumu L=tvertnes diametru vai pusi no mazākā izmēra.
Aprēķiniet vadīšanas laiku: t_cond=0.2 × L² / .
Salīdziniet ar laiku, kad šķidrums bija labi-sajaukts: t_mix=m × c_p × ΔT / P, kur m ir masa, P ir sildītāja jauda.
Faktiskais laiks ir maksimālais t_cond un t_mix (atkarībā no tā, kurš ir garāks), jo šķidrums nevar uzkarst ātrāk, nekā pieļauj difūzija.
Aprēķina piemērs eļļai Pr=500
| Parametrs | Vērtība | Vienība |
|---|---|---|
| Šķidrums | Smagā eļļa (ISO VG 220) | |
| Temperatūras paaugstināšanās ΔT | 20 grādi līdz 80 grādiem (60 grādi) | |
| Tvertnes izmērs (kubs) | 0,5 m katrā pusē | |
| Skaļums | 125 L | |
| Masa | 110 kg (ρ=880 kg/m³) | |
| Īpatnējais siltums c_p | 2000 J/kg·K | |
| Siltumvadītspēja k | 0.14 W/m·K | |
| Termiskā difūzija | 0.14 / (880×2000) = 7.95e-8 ≈ 8e-8 m²/s | |
| Prandtl numurs | Pr=ν/ , ν=4e-5 m²/s → 4e-5/8e-8=500 | |
| Vadīšanas laiks t_cond | 0,2 × (0,5)² / 8e-8=0.05 / 8e-8=625,000 s=7.2 dienas | |
| Sildītāja jauda (pieņemsim, ka 3 kW) | 3,000 W | |
| Jauktais laiks t_mix | (110×2000×60) / 3000=13,200,000/3000=4,400 s=1.2 stundas | |
| Faktiskais 90% laiks | 7,2 dienas (izplatība{1}}ierobežota) |
Bez recirkulācijas eļļa pie sildītāja dažu stundu laikā sasniedz 80 grādus, bet eļļa pie tvertnes tālākās sienas sasilst vairāk nekā nedēļu. Gaidot lielapjoma sasilšanu, sildītājs lokāli pārkarst (izmēra, noārdās PFA).
Mazināšanas stratēģijas augsta{0}}prasības šķidruma daudzumam
| stratēģija | Efektīvais L (m) | Jauns t_cond | Īstenošanas izmaksas |
|---|---|---|---|
| Dabiskā konvekcija (nav) | 0.5 | 7,2 dienas | $0 |
| Uzstādiet recirkulācijas sūkni (1 m³/h) | N/A (jaukts) | 1,2 stundas (mix{1}}ierobežots) | $1,500 |
| Izmantojiet vairākus sildītājus (3 sildītājus ar atstarpi) | 0,25 (pus distance) | 1,8 dienas | 2000 USD (2 papildu sildītāji) |
| Uzstādiet statiskās maisītāja plāksnes | 0.3 | 2,6 dienas | $800 |
| Izmantojiet sildītāju ar pagarinātām spurām | 0.4 | 4,6 dienas | $300 |
| Maisiet ar mehānisko maisītāju (100 RPM) | N/A (jaukts) | 1,2 stundas (mix{1}}ierobežots) | 2500 $ (motors + vārpsta) |
Recirkulācija vai mehāniskā maisīšana ir vienīgais praktiskais risinājums, ja Pr > 100. Bez sajaukšanas uzsilšanas laiks kļūst par dienām vai nedēļām, un PFA sildītājs pārkarst un neizdosies no katlakmens veidošanās (ja uz ūdens bāzes) vai oksidēšanās (ja uz eļļas bāzes). Par Pr=500 norādiet recirkulācijas sūkni, kura izmērs ir vismaz 1 tilpuma apgrozījums stundā.
Lauka piemērs
Farmācijas rūpnīca karsēja augstas -viskozitātes glicerīnu (Pr≈600, 50 grādi līdz 90 grādi) 200 l tvertnē ar vienu 6 kW PFA sildītāju bez recirkulācijas. Pēc 24 stundām glicerīns pie sildītāja bija 90 grādi, bet lielākā daļa bija tikai 55 grādi. Sildītāja virsma sasniedza 150 grādus, izraisot glicerīna polimerizāciju un piesārņojumu. Iekārta pievienoja recirkulācijas sūkni (2 m³/h). Pēc 3 stundām visa tvertne sasniedza 88–92 grādus, un sildītāja virsma palika zem 110 grādiem. Polimerizācija apstājās. 1000 sūkņi ietaupīja 1000 sūkņus, 5000 sildītāju nomaiņa un nedēļas ilga dīkstāve.
Secinājums: Pr{0}} šķidrumiem dominē difūzijas laiks
Augsta -Prandtl-skaitļa šķidrumam (Pr=500) laiku, kurā PFA sildītājs sasniedz 90% no iestatītās vērtības, nosaka termiskā difūzija, nevis sildītāja jauda. 0,5 m tvertnē bez sajaukšanas vadīšanas laiks ir 5-10 dienas - 100x garāks par sajaukšanas laiku. Bez piespiedu konvekcijas vai mehāniskas maisīšanas sildītājs lokāli pārkarst, izraisot katlakmens veidošanos, piesārņojumu vai PFA degradāciju. Inženieriem ir jānorāda recirkulācijas sūkņi vai maisītāji jebkuram procesa šķidrumam, kura Pr > 100. Aprēķina metode: t_90%=0.2 × L² / . Ja t_90% pārsniedz pieļaujamo procesa laiku, pievienojiet maisīšanu. Pr=500 samaisiet vai gaidiet dienas. Izvēle ir skaidra.
